NOTA PADU MATEMATIK SPM
TOPIK 8:BULATAN III
8.1 Tangen kepada Bulatan
1. Tangen kepada bulatan ialah garis lurus yang menyentuh bulatan itu pada satu titik sahaja. Titik tersebut dipanggil titik sentuhan.
2. Jejari yang melalui titik sentuhan tangen adalah berserenjang dengan tangen itu.
Jika ABC ialah tangen kepada bulatan di B, maka ∠ABO = ∠CBO = 90o.
8.1.1 Sifat-sifat Berkaitan dengan Dua Tangen kepada Suatu Titik di Luar Bulatan
Dalam rajah di atas, BA dan BC ialah dua tangen dari satu titik luar B. Sifat-sifat bagi tangennya adalah berikut.
Contoh 1:
Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O. ABC dan CDE ialah dua tangen kepada bulatan di titik B dan D masing-masing. Cari panjang OC
Penyelesaian:
OC2 = OB2 + BC2 ← (Teori Pythagoras)
= 62 + 82
= 100
OC = √100 = 10 cm
Contoh 2:
Dalam rajah di atas, AB dan BC ialah dua tangen kepada bulatan dengan pusat O. Hitung nilai bagi
(a) x (b) y
Penyelesaian:
(a) AB = BC
7 + x = 12
x = 5
(b)
∠OBA = ∠OCB = 21o
∠OCB = 90o ← (OC berserenjang dengan CB)
yo = 180o – 21o – 90o
y = 69
Contoh 3:
Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan dengan pusat O di titikt B. CDE ialah garis lurus. Cari nilai bagi x.
Penyelesaian:
∠CBO = 90o ← (OB berserenjang dengan BC)
Dalam ∆ BCE,
xo = 180o – 30o – 50o – 90o
x = 10o
8.2 Sudut di antara Tangen dengan Perentas
1. Dalam rajah, ABC ialah tangen kepada bulatan di titik B.
2. Perentas PB membahagikan bulatan kepada dua tembereng, iaitu tembereng minor PRBdan tembereng major PQB.
3. Sudut dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas PB yang melalui titik sentuhan tangen ialah ∠BQP.
4. Manakala, sudut dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas BQ yang melalui titik sentuhan tangen ialah ∠BPQ.
5. Sudut di antara tangen dengan perentas yang melalui titik sentuhan tangen adalah sama dengan sudut dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas itu.
6. Hubungan antara sudut-sudut adalah berikut:
∠ ABP = ∠ BQP
∠ CBQ = ∠ BPQ
Contoh 1:
Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan BDE di titikt B.
Panjang lengkok BD adalah sama dengan panjang lengkok DE.
Cari nilai bagi p.
Penyelesaian:
∠BED = 82o ← (sudut dalam tembereng selang-seli)
∠DBE = 82o ← (Lengkok BD = Lengkok DE, BDE ialah segi tiga kaki sama)
Oleh itu p = 180o – 82o – 82o
= 16o
8.3 Tangen Sepunya
Tangen sepunya kepada dua bulatan ialah suatu garis lurus yang menyentuh kedua-dua bulatan itu masing-masing pada satu titik sahaja.
1. Bersilang di dua titik
(a) Bulatan sama saiz
Bilangan Tangen Sepunya
|
Sifat-sifat Tangen Sepunya
|
Dua tangen sepunya:
AB dan CD
|
AC = BD
AB = CD
AB selari dengan OR selari denganCD
|
(b) Bulatan saiz berbeza
Bilangan Tangen Sepunya
|
Sifat-sifat Tangen Sepunya
|
Dua tangen sepunya:
ABE dan CDE
|
AB = CD
BE = DE
OA // RB
OC // RD
|
2. Bersilang di satu titik
(a) Bulatan sama saiz
Bilangan Tangen Sepunya
|
Sifat-sifat Tangen Sepunya
|
Tiga tangen sepunya:
AB, CD dan PQ
|
AC = PQ = BD
AB = OR = CD
AB // OR // CD
AC // PQ // BD
PQ berserenjang dengan OR
|
(b) Bulatan saiz berbeza
(i) Bersentuh di luar bulatan
Bilangan Tangen Sepunya
|
Sifat-sifat Tangen Sepunya
|
Tiga tangen sepunya:
ABE, CDE dan PQ
|
AB = CD
BE = DE
OA // RB
OC // RD
PQ berserenjang dengan ORE
|
(ii) Bersentuh di dalam bulatan
Bilangan Tangen Sepunya
|
Sifat-sifat Tangen Sepunya
|
Satu tangen sepunya:
PQR
|
ONQ berserenjang dengan PR
|
3. Tidak bersilang
(a) Bulatan sama saiz
Bilangan Tangen Sepunya
|
Sifat-sifat Tangen Sepunya
|
Empat tangen sepunya:
AB, CD, PS and RQ
|
AB = CD = OV
PS = RQ
AB // OV // CD
|
(b) Bulatan saiz berbeza
Bilangan Tangen Sepunya
|
Sifat-sifat Tangen Sepunya
|
Empat tangen sepunya:
AB, CD, PS dan RQ
|
AB = CD
BT = DT
PS = RQ
OA // VB
OC // VD
|
8.3 Tangen Sepunya (Contoh Soalan)
Contoh 1:
Dalam rajah di atas, O dan F ialah pusat bagi dua bulatan yang bersilang. ABG dan CDG ialah tangen-tangen sepunya kepada bulatan-bulatan itu. Cari nilai
(a) x, (b) y, (c) z
Penyelesaian:
(a)
Dalam ∆ BFG,
∠ BFG = ½ × 56o = 28o
∠FBG = 90o ← (jejari berserenjang dengan tangen)
xo + 28o + 90o = 180o
xo = 180o – 118o
xo = 62o
x = 62
(b)
∠AOF = xo = 62o ← (AO // BF)
yo = 2 × 62o
yo = 124o
y = 124
(c)
Sudut luaran bagi AOC = 360o – 124o = 236o
∠EOC = ½ × 236o = 118o
zo = (180o – 118o) × ½ ← (∆ EOC ialah segitiga kaki sama, ∠OEC = ∠OCE)
zo = 31o